- PENDAHULUAN
PERANAN STATISTIKA
STATISTIKA telah banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh: tiap bulan habis Rp. 500.000,00 untuk keperluan rumah tangga, ada 60% penduduk memerlukan perumahan, 10% anak SD mengalami putus sekolah.
Pemerintah menggunakan statistika untuk menilai hasil pembangunan masa lalu dan membuat rencana untuk masa depan.
Pimpinan mengambil manfaat statistika untuk melakukan tindakan yang perlu untuk menjalankan tugasnya. Statistika telah banyak digunakan dalam bebergai bidang ilmu untuk bermacam keperluan, seperti: penelitian, perencanaan, pemantauan, dan evaluasi kegiatan, serta perumusan kebijakan.Meskipun penggunaan statistika telah meluas dalam berbagai bidang, namun tidak jarang ditemukan adanya pandangan yang keliru mengenai statistika.
Misalnya : ada yang menganggap bahwa dengan statistika setiap macam data dapat diolah untuk keperluan mendukung atau membantah suatu pendapat. Ada pula yang menganggap bahwa statistika dapat membuat hampir setiap studi menjadi lebih “ILMIAH”.
Beberapa hal yang tidak dapat dilakukan dengan Statistika:
1. Statistika bukan suatu metode yang dapat membuktikan setiap pendapat yang ingin ditunjukkan kebenarannya. Persyaratan harus dipenuhi. Statistika tidak dapat mencegah atau memperbaiki kecerobohan yang dilakukan seseorang, atau ketidakjujurannya dalam memperoleh data dan menarik kesimpulan yang tidak didukung fakta.
2. Statistika tidak dapat menggantikan fungsi penalaran secara teoretik mengenai suatu masalah.
3. Statistika tidak dapat menggantikan fungsi pengukuran yang cermat atau pembuatan instrumen pengumpul data yang baik.
Tugas Statistika:
a. Statistika Deskriptif;
Tugasnya mengumpulkan, mengolah, dan menganalisis data serta menyajikannya.
b. Statistika Induktif (inferensial); tugasnya mengambil kesimpulan dan membuat keputusan
yang beralasan, sehubungan dengan ketidakpastian di masa depan berdasarkan analisis yang dilakukan yaitu melalui UJI HIPOTESIS.
- Pembatasan Persoalan
- Mengumpulkan data yang relevan
- Seleksi dan pengumpulan data ekstern
- Mengklasifikasikan
- Pengujian
- Analisis
Data Statistik :
- Menurut Sumber dan penggunaan:
Data Intern,Data Ekstern,
- Menurut Sumber dan Pengumpulan:
Data Primer; data yang dikumpulkan oleh suatu badan dan diterbitkan. Badan lain boleh memperolehnya bila memerlukan. Contoh BPS.
Data Sekunder; data yang dilaporkan oleh suatu badan, tetapi badan ini tidak langsung mengumpulkannya sendiri.
- Menurut Nilainya:
Data Diskrit;
data yang hanya mempunyai sejumlah terbatas nilai-nilai. Disebut juga nilai pengamatan. Merupakan bilangan asli dan tidak mungkin bilangan pecahan. Hasil membilang/mengitung. Data NOMINAL.
Data Kontinyu;
data yang secara teoretik dapat menjalani setiap nilai. Merupakan hasil pengukuran.
DATA NOMINAL
Data mempunyai level pengukuran nominal jika angka yang dikaitkan dg suatu deskriptor hanya berfungsi sbg pengganti deskriptor tsb. Angka tidak menunjukkan makna, besaran, dan tidak dpt dimanipulasi secara matematik.
lanjutan
DATA ORDINAL
Adalah tingkatan paling rendah dari pengukuran data dimana angka yang dikaitkan dengan deskriptor suatu variabel mempunyai makna kuantitatif. Selain memiliki karakteristik untuk membedakan antara objek-objek yang diukur seperti pada data nominal, angka ordinal juga mempunyai sifat tambahan, yaitu dapat memberi indikasi mana di antara dua objek yang mempunyai kelebihan.
lanjutan
DATA INTERVAL
Selain memiliki karakteristik yang dimiliki data nominal dan ordinal, data ini juga mempunyai tambahan karakteristik berupa interval/jarak yg sama antara dus angka yang berurutan, shg jarak antara 9 da 13 adalah sama dg jarak antara 7 dan 3. Contoh skor tes, suhu pada termometer, umur.
DATA RATIO
Merupakan tingkat pengukuran tertinggi, yang mempunyai karakteristik berupa titik nol mutlak, misalnya 8 adalah 2 kali lbih besar daripada 4, dg nol menandakan absennya deskriptor yg diukur. Contoh: berat, jumlah anak. Dalam penelitian sosial jarang yg sampai level ini.
4. Menurut Jenisnya:
Data Kuantitatif dan Data Kualitatif
POPULASI DAN SAMPEL
Populasi; objek penelitian dengan batas-batas persoalan yang cukup jelas. Usaha memperoleh data dengan cara meneliti seluruh individu dalam populasi disebut sensus.
Sampel; bagian dari populasi. Sampel harus dapat memwakili (Representatif) populasi. Segala karakteristik populasi harus tercermin dalam sampel.
Sampel represntatif apabila anggotanya diambil secara random, yaitu setiap individu mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi sampel.
Mengapa sampling?
- Populasi tak terbatas (infinite population)
- Populasi terbatas … alasan biaya, waktu, tenaga.
- Fase statistika yang berhubungan dengan kondisi dimana kesimpulan demikian diambil disebut Statistika Induktif.
- Fase statistika yang berusaha melukiskan dan menganalisis kelompok yang diberikan tanpa membuat atau menarik kesimpulan disebut statistika deskriptif.
PENGUMPULAN DATA:
- Mengadakan penelitian langsung ke lapangan atau di laboratorium terhadap obyek penelitian. Hasilnya dicatat, kemudian dianalisis.
- Mengambil sebagian atau seluruhnya dari sekumpulan data yang telah dicatat atau dilaporkan oleh badan/orang lain.
- Mengadakan angket, yakni cara pengumpulan data dengan menggunakan daftar pertanyaan yang telah disiapkan, sehingga responden tinggal menandai dengan mudah dan cepat.
` PEMBULATAN ANGKA:
- Jika angka terkiri dari yang harus dihilangkan 4 atau kurang, maka angka terkanan dari yang mendahuluinya tidak berubah. Contoh: Rp. 59.376.402,96, dibulatkan hingga jutaan rupiah menjadi Rp. 59 juta. Angka yang harus dihilangkan mulai dari 3 ke kanan.
- Jika angka terkiri terdiri dari yang harus dihilangkan lebih dari 5 atau 5 diikuti oleh angka bukan nol, maka angka terkanan dari yang mendahuluinya bertambah dengan satu. Contoh:6.948 kg, dibulatkan hingga ribuan akan menjadi 7 ribu.
3. Jika angka terkiri dari yang harus dihilangkan hanya angka 5 atau 5 yang diikuti oleh angka-angka nol belaka, maka angka terkanan dari yang mendahuluinya tetap jika ia genap, tambah satu jika ia gasal. Contoh:
v Bilangan 8,5 atau 8, 500 menjadi 8 jika dibulatkan teliti hingga satuan. Angka yang harus dihilangkan masing-masing 5 dan 500 sedangkan yang mendahuluinya adalah genap, yakni 8. Jadi harus tetap 8.
v Akan tetapi 19,5 atau 19,50 menjadi 20 jika dibulatkan hingga satuan. Ini disebabkan angka yang mendahului 5 atau 50 merupakan bilangan gasal. Jadi harus ditambah satu.
ATURAN 3 disebut ATURAN GENAP TERDEKAT yang diambil untuk membuat keseimbangan antara pembulatan ke atas dan ke bawah, jika yang harus dihilangkan terdiri atas 5 atau 500.
Distribusi Frekuensi (DF): penyebaran nilai-nilai suatu faktor variabel sepanjang suatu skala nilai-nilai.
A. Menurut Macam Klasifikasi: 2 DF
1. DF Numerikal; pengelompokan /klasifikasinya berdasarkan keterangan yang berupa angka (kuantitatif)
2. DF Kategorikal; pengelompokan/klasifikasi frekuensi berupa keterangan kualitatif.
B. Menurut Banyaknya karakteristik:
- DF Tunggal; 1 karakteristik
- DF Ganda ; > 1 karakteristik
3 langkah membentuk DF Numerikal:
- Menentukan kelas
- Menyeleksi frekuensi ke dalam kelas
- Menjumlah semua frekuensi dari kelas
TDF dengan panjang kelas yang sama:
- Tentukan rentang (Range), yaitu data terbesar dikurangi data terkecil atau
R = Xt – Xr atau R = Xn– X1
2. Tentukan Banyak Kelas Interval, biasanya 5 – 15 atau menggunakan
STURGES RULE, yaitu:
banyak kelas = 1 + (3,3) log n
Kelas yang sedikit; keterangan banyak yang hilang, sehingga data kasar.
Kelas terlalu banyak; tidak dapat meringkas data.
2. Menentukan banyak (jumlah) kelas:
Banyak kelas antara 5 – 15 atau dengan
STURGES RULE:
k = 1 + 3,3 log n
k = jumlah kelas
n = jumlah individu
3. Tentukan panjang kelas (p)
4. Pilih ujung bawah kelas interval pertama, dapat diambil sama dengan data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang dari p.
LATIHAN MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI
7980
70
68
90
92
80
70
63
76 |
4984
71
72
35
93
91
74
60
63 |
4890
92
85
83
76
61
99
83
88 |
7470
38
51
73
71
72
95
82
70 |
8191
56
65
74
90
97
80
60
66 |
9893
81
93
43
72
91
59
67
86 |
8782
74
83
86
67
88
71
89
79 |
8078
73
86
88
75
81
77
63
75 |
Syarat DF yang baik:
- Mempunyai nomor tabel
- Mempunyai judul dan sub judul yang jelas
- Mempunyai footnote yang jelas
- Menyebutkan sumber data
- Mempunyai susunan kelas yang baik
- Hindarkan pemakaian batas kelas yang berulang
- Hindarkan pemakaian panjang kelas yang tidak sama
- DF terbuka boleh digunakan jika frekuensi dari kelas terakhir kecil.
KELAS TERBUKA
- Kelas terbuka terjadi pada kelas pertama dan atau kelas terahir
- Kelas terbuka dibuat apabila tidak cukup banyak pengamatan yang akan terdapat jika interval itu dibuat tertutup dan jika data ekstrim tidak diketahui atau tak perlu diperhatikan.
DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF
NILAI |
f |
f (%) |
31 – 4041 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100 |
23
5
14
24
20
12 |
2,503,75
6,25
17,50
30,00
25,00
15,00 |
Jumlah |
80 |
100 |
DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF (DFK)
DFK dpt dibentuk dari DF biasa, dengan jalan menjumlahkan frekuensi demi frekuensi.
2 macam DFK:
- KURANG DARI
- ATAU LEBIH
Frekuensi dapat absolut maupun relatif
DFK NILAI UJIAN STATISTIKA
NILAI |
f |
F Kurang dari |
F atau lebih |
31 – 4041 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
101 – 110 |
23
5
14
24
20
12 |
02
5
10
24
48
68
80 |
8078
75
70
56
32
12
0 |
Jumlah |
80 |
– |
– |
Penyajian Data dengan Grafik atau Gambar
- HISTOGRAM
- POLIGON
- OGIVE
MEMBUAT GRAFIK DARI DF
Histogram atau diagram batang, berbentuk segi empat. Data Kontinyu.
Langkah-langkah Pembuatan:
- Membuat absis dan ordinat (10:7)
- Absis untuk nilai (BBN); ordinat untuk frekuensi (f)
- Membuat skala absis dan ordinat
- Membuat segi empat pada absis, tingginya sama dengan fnya.
- Memberi nomor dan keterangan (nama).
POLIGON (FREQUENSY POLYGON)
- Diagram berbentuk garis (line chart) dari Data kontinyu.
- Dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengahtiap kelas secara berturut-turut, diteruskan sampai memotong absis.
OGIVE
- Diagram garis dari DF meningkat (F)
- Absis untuk nilai; ordinat untuk F.
- Gunakan BBN
- Dibuat dengan menarik garis2 dari BB sebelah kiri berturut-turut ke BBN di atasnya pada F kelas ybs.
- Dan sebaliknya untuk meningkat dari bawah ke atas.
UKURAN TENDENSI SENTRAL DAN UKURAN LETAK
- Rata-rata (Mean/µ): hitung ( ), Ukur (U), dan Harmonik (H).
- Modus (Mode = Mo)
- Median
- Kuartil, Desil, Dan Persentil
MEAN HITUNG
Untuk data kuantitatif dari sampel dihitung dengan membagi jumlah nilai data oleh banyak data.
Rumus:
Data tunggal:
Data berkelompok:
MEAN UKUR (U)
Jika perbandingan tiap data berurutan tetap atau hampir tetap, rata-rata ukur lebih baik dipakai daripada rata-rata hitung.
Untuk data tunggal: X1, X2, … Xn maka:
atau
Data berkelompok:
3. Rata-rata Harmonik (H)
Untuk data tunggal: X1, X2, X3 …Xn
Rumus:
Untuk data berkelompok:
HUBUNGAN: H ≤ U ≤
MODUS (Mo)
Adalah suatu nilai dari kumpulan nilai yang paling banyak terjadi.
Nilai Modus adalah nilai tengah dari kelas yang paling banyak frekuensinya (Crude Mode = Modus kasar), rumus:
Keterangan:
b = batas bawah nyata (BBN) kelas yang mengandung Mo
p = panjang kelas Mo
b1 = frekuensi kelas Mo dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas Mo dikurangi kelas interval terdekat berikutnya
MEDIAN (Md=Me)
Suatu nilai dari deretan nilai yang telah disusun (diarray) shg setengah dari deretan nilai = atau < dari Md, sdg setengah lainnya = atau > Md.
Menghitung Md untuk data tunggal:
- Jumlah amatan (n) gasal:
Median = X yang ke
setelah data diarray.
2. Jumlah amatan (n) genap, rumusnya:
Median = nilai X yang ke atau
nilai X yang ke setelah data diarray
Data berkelompok:
Keterangan:
b = BBN kelas yang mengandung Md
p = panjang kelas Md
n =jumlah frekuensi
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang mengandung Md
f = frekuensi kelas yang mengandung Md
UKURAN LETAK
KUARTIL, DESIL,PERSENTIL
Kuartil
Jika sekumpulan data dibagi menjadi 4 bagian yg sama banyak, maka bilangan pembaginya disebut KUARTIL.
Ada 3 kuartil: Kuartil Pertama (K1)
Kuartil Kedua (K2)
Kuartil Ketiga (K3)
Rumus Letak Kuartil
K1 = data ke dengan i = 1, 2, 3
Contoh data:
52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94
Letak K1 = data ke = data ke 31/4
Yaitu antara data keempat seperempat jauh dari data ke 3.
Nilai K1 = data ke 3 + ¼ (data ke4 – data ke3)
= 57+ ¼(60-57) = 57¾.
Data Berkelompok:
K1 = b + p dengan keterangan:
b = BBN kelas mengandung K1
P = panjang kelas
F = jumlah frekuensi sebelum kelas K1
f = frekuensi kelas K1
Desil
Jika data dibagi dalam 10 bagian yg sama, maka didapat 9 pembagi dan tiap pembagi dinamakan DESIL.
Ada 9 desil (D1, D2, … D9)
Letak Di:
Data tak berkelompok:
Letak Di = data ke dengan i = 1, 2, …, 9
Contoh “data yang ada”
D7 adalah data ke = data ke 9,1
Nilai D7 adalah data ke 9 + (0,1) (data ke 10 – data ke 9)
D7 = 82 + (0,1)(86-82) = 82,4
Data Berkelompok:
dengan i = 1, 2, …, 9.
Keterangan:
b = BBN kelas Di ialah kelas interval dimana Di terletak
p = panjang kelas
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di
f = frekuensi kelas Di
Persentil
Sekelompok data yang dibagi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi.
Ada 99 Persentil, yaitu P1 – P99
Rumus Persentil:
Data tak berkelompok:
Letak Pi = data ke dengan i = 1, 2, …, 99
Keterangan:
b = BBN kelas Pi, ialah kelas interval dimana Pi terletak
p = panjang kelas Pi
F = jumlah frekuensi sebelum kelas Pi
f = frekuensi kelas Pi
UKURAN SIMPANGAN, DISPERSI, DAN VARIASI
Menggambarkan derajat bagaimana berpencarnya data kuantitatif.
Jenis-Jenis:
v RENTANG
v RENTANG ANTAR KUARTIL
v SIMPANGAN/DEVIASI KUARTIL
v RERATA SIMPANGAN
v SIMPANGAN BAKU
v VARIANS DAN
v KOEFISIEN VARIASI
v
1. RENTANG (RANGE) =
DATA TERBESAR – DATA TERKECIL
R = Xn – X1
2. RENTANG ANTAR KUARTIL (RAK)
RAK = K3 – K1
3. RENTANG SEMI ANTAR KUARTIL (RSAK) = SIMPANGKAN KUARTIL (SK)
RSAK (SK) = ½ (K3 – K1)
RERATA SIMPANGAN
- Untuk Data tak Berkelompok
Misalkan data pengamatan berbentuk X1, X2, … Xn
dengan rata-rata = selanjutnya tentukan jarak
Antara tiap data (Xi) dengan atau Xi – .
(baca harga mutlak dari selisih Xi dengan
Data berkelompok
Xi adalah nilai tengah.
- Langkah-langkah mencari RS:
- Tentukan dahulu nilai rata-rata ( )
- Cari selisih antara Xi dengan , selanjutnya tentukan harga mutlaknya dan kalikan dengan fnya.
- Jumlahkan semua harga hasil no. 2.
- Hasil penjumlahan dibagi dengan n (jumlah f)
- Masukkan ke dalam rumus.
SIMPANGAN BAKU
(STANDAR DEVIASI)
- Ukuran dispersi yang sering digunakan dalam analisis statistik.
Dispersi adalah pengukuran penyebaran nilai di sekitar tendensi sentral.
2. Simbol:
s : untuk sampel
: untuk populasi
3. Kuadrat dari s atau adalah ragam (variance).
SD untuk:
Data tak berkelompok:
- Sampel kecil (n <30); rumus:
- Sampel besar (n≥30), rumus sama dengan populasi:
- Data berkelompok:
Nilai Xi adalah titik tengah.
Sampel besar, rumus:
Sampel kecil, rumus
Tabel untuk mencari SD:
SIMPANGAN BAKU GABUNGAN
Jika terdapat k buah subsampel:
Subsampel 1 : berukuran n1 dengan s1
Subsampel 2 : berukuran n2 dengan s2
Subsampel 3 : berukuran nk dengan sk
Yang digabungkan menjadi sebuah sampel berukuran n = n1+ n2+ …+ nk, maka standar deviasi untuk sampel ini merupakan s gabungan.
Rumus: Variance Gabungan atau Simpangan baku gabungan =
Contoh:
Hasil pengamatan pertama terhadap objek sebanyak 14 memberikan s = 2,75 sedangan pengamatan kedua terhadap 23 objek diperoleh s = 3,08 maka untuk k = 2 diperoleh:
Rata-rata Gabungan:
(Untuk data tak berkelompok)
KOEFISIEN VARIASI
Ukuran variasi (dispersi) yang sudah dipelajari merupakan dispersi absolut.
Untuk mengukur pengaruh dan membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-nilai kecil →dispersi relatif.
Dispersi Relatif =
Contoh: dispersi relatif untuk simpangan baku, mak didapat Koefisien Variasi (KV) sbb.
NILAI STANDAR
- SD sbg pengukuran variabilitas selalu dinyatakan dalam satuan angka kasar, seperti: kg.,rp., ha., km., dsb.
- Nilai standar tidak lagi tergantung kepada satuan pengukurannya.
- Nilai standar yang ASLI adalah z score, yaitu suatu bilangan yang menunjukkan seberapa jauh suatu nilai (angka kasar) menyimpang dari mean dalam satuan s.
Atau
Untuk i = 1, 2, …, n
Dalam mana
Z = nilai standar
X = sesuatu angka kasar
M= = mean distribusi
S = standar deviasi
Z score adalah weghted score atau scale score.
Z score: z1; z2; z3; …; zn ternyata mempunyai
rata-rata dan simpangan baku (s) = 1.
Dalam penggunaannya, angka z sering diubah menjadi keadaan atau model baru, atau distribusi baru, yang mempunyai rata2
Dan simpangan baku yang ditentukan, sehingga rumus di atas diubah menjadi:
Contoh:
Dalam psikologi, tes Wechler-Bellevue diubah ke dalam angka baku dengan
Mean = 1 dan simpangan baku (s=3).
Tes klasifikasi umum tentara di AS, digunakan
Mean =100 dan s = 20
“Graduate Record Examination” di USA angka standar dinyatakan dengan Mean = 500 dan s = 100
Contoh
- Ada tiga calon dari SMA yang berbeda. Di sekolahnya masing-masing Calon A mendapat nilai Matatematika 83 sedangkan reratanya 62 dan simpangan baku 16. Calon B mendapat nilai 97 dg rerata kelas 83 dan simpangan baku 23, sedangkan C mendapat nilai 87 dg rerata kelas 65 dan sipangan baku 14. Salah satu calon akan dipilih berdasarkan sistem dengan rerata 500 dan simpangan baku 100. Calon mana yang sebaiknya didahulukan diterima?